Teoría de Colas o de Líneas de Espera

QUÉ ES LA TEORÍA DE COLAS O DE LÍNEAS DE ESPERA?

La teoría de colas es el estudio de los sistemas de líneas de espera en sus distintas modalidades. El estudio de estos modelos sirve para determinar la forma más efectiva de gestionar un sistema de colas.

La teoría de colas es el estudio matemático del comportamiento de líneas de espera. Esta se presenta cuando los clientes llegan a un lugar demandando un servicio a un “servidor”, el cual tiene una cierta capacidad de atención. Si el servidor no está disponible inmediatamente y el cliente decide esperar, entonces se forma la línea de espera.

¿PARA QUÉ SIRVE LA TEORÍA DE COLAS?

El estudio de las colas nos sirve para proporcionar tanto una base teórica del tipo de servicio que podemos esperar de un determinado recurso, como la forma en la cual dicho recurso puede ser diseñado para proporcionar un determinado grado de servicio a sus clientes.

Aplicaciones de la teoria de colas:

• Facturación en aeropuertos.
• Cajeros automáticos.
• Restaurantes de comida rápida.
• Esperas en líneas de atención telefónica.
• Intersecciones de tráfico.
• Aviones en espera para aterrizar.
• Llamadas a la policía o a compañías de servicios públicos.
• Estándares de calidad del servicio.
• Análisis económicos que incluyan comparaciones entre costes de explotación, inversiones de capital.

OBJETIVOS DE LA TEORÍA DE COLAS

• Identificar el nivel óptimo de capacidad del sistema que minimiza el coste global del mismo.
• Evaluar el impacto que las posibles alternativas de modificación de la capacidad del sistema tendrían en el coste total del mismo.
• Establecer un balance equilibrado (“óptimo”) entre las consideraciones cuantitativas de costes y las cualitativas de servicio.
• Hay que prestar atención al tiempo de permanencia en el sistema o en la cola: la “paciencia” de los clientes depende del tipo de servicio específico considerado y eso puede hacer que un cliente “abandone” el sistema.

VENTAJAS Y DESVENTAJAS DE LA TEORÍA DE COLAS

Ventajas

• Los modelos de colas implican siempre aproximaciones a la realidad y una simplificación de ésta.
• Los resultados permiten apreciar el orden de importancia, los cambios con relación a un punto de referencia y las tendencias más probables.
• Resultados “cerrados” limitados casi siempre a situaciones de “estado estacionario” y obtenidos sobre todo (aunque no exclusivamente) para su aplicación a sistemas de nacimiento y muerte y de “fase”.
• Proporciona algunas cotas útiles para sistemas más generales en estado estacionario.
• Cada vez hay más soluciones numéricas disponibles para sistemas dinámicos.

Desventajas

• Los modelos de simulación en una computadora son costosos y requieren mucho tiempo para desarrollarse y validarse.
• Se requiere gran cantidad de corridas computacionales para encontrar “soluciones óptimas”, lo cual repercute en altos costos.
• Es difícil aceptar los modelos de simulación.
• Los modelos de simulación no dan soluciones óptimas
• La solución de un modelo de simulación puede dar al analista un falso sentido de seguridad.

CONCEPTOS BÁSICOS

Un ejemplo de cola es cuando se va a comprar un boleto para viajar, si existen pocas personas para ser atendidas será una cola pequeña, sin embargo, si hay un gran número de personas esperando ser atendidas será una cola muy grande, el número de servidores dependerá de cuantas personas están atendiendo y el cliente será la persona que quiere comprar el boleto el número de servidores podrá ser de uno hasta infinito.

Un sistema de colas se justifica por seis características principales:

• El tiempo de distribución de entradas o llegadas.
• El tipo de distribución de salidas o retiros.
• Los canales de servicio.
• La disciplina del servicio.
• El número máximo de clientes permitidos en el sistema.
• La fuente o población.

ELEMENTOS DE UN MODELO DE COLAS

Fuente de entrada o población potencial: Es un conjunto de individuos (no necesariamente seres vivos) que pueden llegar a solicitar el servicio en cuestión. Se considera finita o infinita. Aunque el caso de infinitud no es realista, sí permite (por extraño que parezca) resolver de forma más sencilla muchas situaciones en las que, en realidad, la población es finita pero muy grande. Dicha suposición de infinitud no resulta restrictiva cuando, aun siendo finita la población potencial, su número de elementos es tan grande que el número de individuos que ya están solicitando el citado servicio prácticamente no afecta a la frecuencia con la que la población potencial genera nuevas peticiones de servicio.

Cliente: Es todo individuo de la población potencial que solicita servicio. Suponiendo que los tiempos de llegada de clientes consecutivos son 0<t1<t2<…, será importante conocer el patrón de probabilidad según el cual la fuente de entrada genera clientes.

Capacidad de la cola: Es el máximo número de clientes que pueden estar haciendo cola (antes de comenzar a ser servidos). De nuevo, puede suponerse finita o infinita. Lo más sencillo, a efectos de simplicidad en los cálculos, es suponerla infinita. Aunque es obvio que en la mayor parte de los casos reales la capacidad de la cola es finita, no es una gran restricción el suponerla infinita si es extremadamente improbable que no puedan entrar clientes a la cola por haberse llegado a ese número límite en la misma.

Disciplina de la cola: Es el modo en el que los clientes son seleccionados para ser servidos. Las disciplinas más habituales son:

La disciplina FIFO (first in first out), también llamada FCFS (first come first served): según la cual se atiende primero al cliente que antes haya llegado.

La disciplina LIFO (last in first out), también conocida como LCFS (last come first served) o pila: que consiste en atender primero al cliente que ha llegado el último.

La RSS (random selection of service), o SIRO (service in random order), que selecciona a los clientes de forma aleatoria.

Mecanismo de servicio: Es el procedimiento por el cual se da servicio a los clientes que lo solicitan. Para determinar totalmente el mecanismo de servicio se debe conocer el número de servidores de dicho mecanismo (si dicho número fuese aleatorio, la distribución de probabilidad del mismo) y la distribución de probabilidad del tiempo que le lleva a cada servidor dar un servicio. En caso de que los servidores tengan distinta destreza para dar el servicio, se debe especificar la distribución del tiempo de servicio para cada uno.

La cola, propiamente dicha, es el conjunto de clientes que hacen espera, es decir los clientes que ya han solicitado el servicio pero que aún no han pasado al mecanismo de servicio.

El sistema de la cola: es el conjunto formado por la cola y el mecanismo de servicio, junto con la disciplina de la cola, que es lo que indica el criterio de qué cliente de la cola elegir para pasar al mecanismo de servicio. Estos elementos pueden verse más claramente en la siguiente figura:

Un modelo de sistema de colas debe especificar la distribución de probabilidad de los tiempos de servicio para cada servidor.

ESTRUCTURA BÁSICA DE UN MODELO DE COLAS

COLA: Es el conjunto de clientes que hacen espera, es decir los clientes que ya han solicitado el servicio pero que aún no han pasado al mecanismo de servicio.

DISCIPLINA DE LA COLA

La disciplina de colas es el estudio matemático de las colas o líneas de espera dentro de un sistema. Esta teoría estudia factores como el tiempo de espera medio en las colas o la capacidad de trabajo del sistema sin que llegue a colapsarse. Dentro de las matemáticas, la teoría de colas se engloba en la investigación de operaciones y es un complemento muy importante a la teoría de sistemas y la teoría de control. Se trata así de una teoría que encuentra aplicación en una amplia variedad de situaciones tomando en cuenta los siguientes ejemplos como negocios, comercio, industria, ingenierías, transporte y logística o también las telecomunicaciones.

En el caso concreto de la ingeniería, la teoría de colas permite modelar sistemas en los que varios agentes que demandan cierto servicio o prestación, confluyen en un mismo servidor y, por lo tanto, pueden registrarse esperas desde que un agente llega al sistema y el servidor atiende sus demandas. En este sentido, la teoría es muy útil para modelar procesos tales como la llegada de datos a una cola en ciencias de la computación, la congestión de red de computadoras o de telecomunicación, o la implementación de una cadena productiva en la ingeniería industrial.

En el contexto de la informática y de las tecnologías de la información y la comunicación las situaciones de espera dentro de una red son más frecuentes. Así, por ejemplo, los procesos enviados a un servidor para su ejecución forman colas de espera mientras no son atendidos; la información solicitada, a través de Internet, a un servidor Web puede recibirse con demora debido a la congestión en la red; también se puede recibir la señal de línea de la que depende nuestro teléfono móvil ocupada si la central está colapsada en ese momento, etc.

Diagrama que muestra dos colas y múltiples modos servidores. La teoría de colas estudia los tiempos de espera y capacidad del sistema.

MECANISMOS DE SERVICIO

Se llama capacidad del servicio al número de clientes que pueden ser servidos simultáneamente. Si la capacidad es uno, se dice que hay un solo servidor (o que el sistema es mono canal) y si hay más de un servidor, multicanal. El tiempo que el servidor necesita para atender la demanda de un cliente (tiempo de servicio) puede ser constante o aleatorio; en este último caso se supone, por lo general, que los tiempos de servicio son vv.aa.ii.ii.dd. Además, que son independientes de los tiempos entre llegadas. A veces el servidor sólo está disponible durante una parte del tiempo de funcionamiento del sistema.

ESTRUCTURAS TÍPICA

El primer sistema que se muestra en la figura, se llama un sistema de un servidor y una cola. El segundo, una línea con múltiples servidores. El tercer sistema, aquél en que cada servidor tiene una línea de separación. El cuarto sistema, es una línea con servidores en serie. Este modelo puede aplicarse a trabajos ordenador que esperan tiempo de procesador.

Una cola se produce cuando la demanda de un servicio por parte de los clientes excede la capacidad del servicio.

• Se necesita conocer (predecir) el ritmo de entrada de los clientes y el tiempo de servicio con cada cliente.
• La teoría de colas es un conjunto de modelos matemáticos que describen sistemas de líneas de espera particulares

Objetivo:

• Equilibrar los costos de capacidad del servicio y el “costo” de una espera larga.

UNA LÍNEA, UN SERVIDOR

1° SISTEMA: Se muestra en la figura, se llama un sistema de un servidor y una cola.

Ejemplo: Puede describir un lavado de carros automático o un muelle de descarga de un solo lugar. Entra el auto al auto lavado-automático pasa por la lavadora y listo.

2° SISTEMA: Este muestra una línea con múltiples servidores. Ejemplo: Es típico de una peluquería o una panadería en donde los clientes toman un número al entrar y se les sirve cuando llega el turno. En un consultorio médico llega toma el turno y espera hasta que le toque su turno para ser atendido.

MODELO DE COLAS

Se forman debido a un desequilibrio temporal entre la demanda del servicio y la capacidad del sistema para suministrarlo.

En las formaciones de colas se habla de clientes, tales como máquinas dañadas a la espera de ser rehabilitadas. Los clientes pueden esperar en cola debido a que los medios existentes sean inadecuados para satisfacer la demanda del servicio; en este caso, la cola tiende a ser explosiva, es decir, a ser cada vez más larga a medida que transcurre el tiempo. Los clientes puede que esperen temporalmente, aunque las instalaciones de servicio sean adecuadas, porque los clientes llegados anteriormente están siendo atendidos.

El sistema de colas consiste esencialmente de tres componentes principales: (1) la población fuente y la forma como los clientes llegan al sistema, (2) el sistema de servicio y (3) la condición en que los clientes que salen del sistema  (¿vuelven o no  la fuente de población?).

La Teoría de Cola no es una técnica de optimización, sino una herramienta que utiliza fórmulas analíticas (limitadas por suposiciones matemáticas. No se asemejan a una situación real, pero da una primer aproximación a un problema y a bajo costo), que brindan información sobre el comportamiento de líneas de espera (estas se presentan cuando “clientes” llegan a un “lugar” demandando un servicio a un “servidor” el cual tiene una cierta capacidad de atención y no está disponible inmediatamente y el cliente decide esperar).

Proceso Básico de las Colas.

El proceso básico supuesto por la mayor parte de los modelos de colas es el siguiente. Los clientes que requieren servicios, a través del tiempo, provienen de una fuente de entrada. Estos clientes arriban al sistema de servicios y se unen a una cola. En un determinado tiempo se selecciona un miembro de la cola, mediante alguna regla conocida como disciplina de servicio. Luego, se brinda el servicio requerido por el cliente en un mecanismo de servicio, después de lo cual el cliente sale del sistema de servicio.

Componentes del Proceso de Colas.

1. Fuente de Entrada

Una característica de la fuente de entrada es su tamaño. El tamaño es el número total de potenciales clientes que pueden requerir servicio en un determinado momento. Esta población a partir de la cual surgen las unidades que arriban se conoce como población o fuente de entrada. Puede suponerse que el tamaño es infinito o finito (por lo cual se dice que la fuente de entrada es ilimitada o limitada).

Debe especificarse el patrón estadístico mediante el cual se generan los clientes a través del tiempo. La suposición normal es que se generan de acuerdo al proceso de Poisson. Este caso corresponde a aquel cuyas llegadas al sistema ocurren de manera aleatoria, pero con cierta taza media fija y sin importar cuantos clientes están ya allí (por lo que el tamaño de la fuente de entrada es infinito). Una suposición equivalente es que, la distribución de probabilidad del tiempo que transcurre entre dos llegadas consecutivas es exponencial. Se hace referencia al tiempo que transcurre entre dos llegadas consecutivas como tiempo entre llegadas.

Población Finita.

Es un grupo limitado de clientes que representa la fuente que usará un servicio y que en ocasiones forma una cola. En esta caso cuando un cliente deja su posición como miembro de la población de usuarios, se reduce en una unidad el tamaño del grupo de usuarios, lo cual reduce la probabilidad que un usuario requiera servicio. Por el contrario, si se brinda mantenimiento a un cliente y éste regresa al grupo de usuarios, aumenta la población y también la probabilidad de que un usuario requiera servicio. (Ejemplos: reparación de cosechadoras, las PC de un gabinete, etc.).

Población Infinita.

Es aquella población que tiene el tamaño suficiente en comparación con el sistema de servicio, para que los cambios en el tamaño de la población, ocasionados por disminuciones o incremento a la población, no afectan de manera sustancial las probabilidades del sistema. (Ejemplos: en un supermercado los clientes que hacen fila; la cola en un banco; en una estación de gasolina, etc.)

2. Proceso de Llegada.

Es la forma en que los clientes de la fuente de entrada llegan a solicitar un servicio. La característica más importante del proceso de llegada es el tiempo entre llegadas, que es la cantidad de tiempo entre dos llegadas sucesivas de clientes a un sistema de colas.

Se supone que el proceso de llegada no es afectado por el número de clientes presentes en el sistema. Existen casos en los que el proceso de llegada puede depender del número de clientes presentes en el sistema, como en el caso de una población pequeña. Ejemplo: hay cuatro barcos en un astillero, si los cuatro están en reparación, entonces ningún barco se puede descomponer en el futuro cercano. Por otro lado, si los barcos están en el mar, en el futuro cercano hay una probabilidad relativamente alta de que alguno sufra una avería.

Otro caso en el que el proceso de llegada depende del número de clientes presentes en cola, se tiene cuando la rapidez con la que llegan los clientes a la instalación disminuye si está demasiado concurrida. Por ejemplo: si un banco tiene mucha gente, cuando llega un cliente se puede ir.

3. Cola.

Una cola se caracteriza por el número de clientes que puede admitir. Las colas pueden ser finitas infinitas; la suposición de una cola infinita es la estándar en la mayoría de los modelos, incluso las situaciones en las que de hecho existe una cota superior (relativamente grande) sobre el número permitido de clientes. Los sistemas de Colas en los que la cota superior es tan pequeña que se llegan a ella con cierta frecuencia, se suponen como cola finita.

Costos de los Sistemas de Colas. Las llegadas son las unidades que entran en el sistema para recibir el servicio; estos elementos se unen primero a la cola; si no hay línea de espera se dice que la cola está vacía.

Costo de Espera. Esperar significa desperdicio de algún recurso activo que bien se puede aprovechar en otra cosa y está dado por:

Costo total de espera = C_{d *} L

Donde C_w = costo de espera por llegada y por unidad de tiempo, y L = a longitud promedio de la cola.

Sistema de Costo Mínimo. Aquí hay que tomar en cuenta, que para tasas bajas de servicio se experimenta largas colas y costos de espera muy altos. Conforme aumenta el servicio disminuyen los costos de espera, pero aumenta el costo de servicio y el costo total disminuye, sin embargo, finalmente se llega a un punto de disminución en el rendimiento. Por lo tanto, se debe encontrar el balance adecuado para que el costo total sea el mínimo.

4. Selección a Partir de la Cola o Línea de Espera.

Disciplina de Cola.

La disciplina de la cola se refiere al orden en el que se seleccionan los clientes para recibir el servicio. Por ejemplo, el primero en entrar es el primero en salir; aleatoria; de acuerdo a algún procedimiento de prioridad o a algún otro orden. En general la disciplina de los modelos de cola es: primero en entrar, primero en salir.

Las reglas de prioridades más comunes para determinar el orden de servicio a los clientes que esperan en la cola son:

• PEPS: Primera Entrada, Primera Salida.
• Ultima Entrada, Primera Salida. − SEOA: Servicio en Orden Aleatorio.
• GD: Disciplina General de Servicio (representa las disciplinas PEPS, UEPS y SEOA).

5. Instalación de Servicios o Estaciones

El mecanismo de servicio consiste en una o más instalaciones de servicio, cada una de ellas con uno o más canales paralelos de servicio, llamados servidores. Si existe más de una instalación de servicio, puede ser que sirva al cliente a través de una secuencia de ellas (canales en serie de servicio). En una instalación dada, el cliente entra en uno de estos canales y el servidor le presta el servicio completo. Un modelo de colas debe especificar el arreglo de las instalaciones y el número de servidores (canales paralelos) en cada una.

El tiempo que transcurre para un cliente desde el inicio del servicio hasta su terminación en una instalación se llama tiempo de servicio (o duración del servicio). Un modelo de sistema de colas determinado debe especificar la distribución de probabilidad de los tiempos de servicio para cada servidor (y tal vez para los distintos clientes), aunque es común suponer la misma distribución para todos los servidores. El flujo de los elementos que recibirán servicios puede formar una cola única, una cola múltiple o una combinación de ambas y pueden ser brindadas por un servidor o múltiples servidores.

MODELO DE COLAS PARA UN ÚNICO SERVIDOR

Es el tipo más sencillo de estructura y existen fórmulas directas para resolver el problema con distribución normal de patrones de llegada y de servicio. Cuando las distribuciones no son normales se resuelve con simulaciones (ejemplo: lavadero automático de autos, muelle de descarga de un solo lugar, etc.

El problema con este formato es que las diferencias en el tiempo de servicio para cada cliente ocasionan un flujo o velocidad desigual en las colas. Como resultado de esto, algunos clientes son atendidos antes que otros que llegaron primero y además producen cambios de una cola a otra (por ejemplo: las ventanillas de los bancos y las cajas de pago de los supermercados).

Para modificar una estructura de manera que se asegure el servicio por orden de llegada, es necesario formar una sola cola, de la cual, al quedar disponible un servidor se le asigna el siguiente cliente.

El principal problema con esta estructura es que requiere un estricto control de la cola para mantener el orden y dirigir a los clientes hacia los servidores disponibles. (Ejemplo: peluquería o una panadería en donde los clientes toman un número al entrar y se les sirve cuando llega el turno).

La teoría de líneas de espera es el estudio matemático de las colas o líneas de espera. La formación  de  colas  es, por  supuesto, un fenómeno común  que ocurre  siempre  que la demanda efectiva de un servicio excede a la oferta efectiva.

Con frecuencia, las empresas deben tomar decisiones respecto al caudal de servicios que debe estar preparada para ofrecer. Sin embargo, muchas veces es imposible predecir con exactitud cuándo llegarán los clientes que demandan el servicio y/o cuanto tiempo será necesario para dar ese servicio; es por eso que esas decisiones implican dilemas que hay que resolver con información escasa. Estar preparados para ofrecer todo servicio que se solicite en cualquier momento puede   implicar   mantener recursos ociosos y costos excesivos, por otro lado, carecer de la capacidad de servicio suficiente causa colas excesivamente largas en ciertos momentos.

Cuando los clientes tienen que esperar en una cola para recibir servicios, están pagando un coste, en tiempo, más alto del que esperaban. Las líneas de espera largas también son costosas para la empresa debido a que producen pérdida de prestigio y pérdida de clientes.

La teoría de líneas de espera en si no resuelve directamente el problema, pero contribuye con la información vital que se requiere para tomar las decisiones concernientes prediciendo algunas características sobre la línea de espera: probabilidad de que se formen, el tiempo de espera promedio.